11 OktwbrÐou S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc"

Καλλιστώ Ζέρβας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Mˆjhma OktwbrÐou 2012

2 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt.

sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc

3 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt. Na upologðsete tic parag gouc twn sunart sewn F (x) = 2 x e2t dt

mia suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f

4 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt. Na upologðsete tic parag gouc twn sunart sewn F (x) = 2 x e2t dt F (x) = sin x t dt

suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt.

5 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt. Na upologðsete tic parag gouc twn sunart sewn F (x) = 2 x e2t dt F (x) = sin x t dt F (x) = 2 x t cos(t 2 )dt

sunˆrthshc f (t), a t x orðzei th sunˆrthsh F (x) = x a f (t)dt.

6 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β.

7 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β. Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα. Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα.

Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα.

8 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β. Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα. Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα. Τότε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος i θα ισούται με l i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 όπου x i = x i x i 1 και y i = f (x i ) f (x i 1 )

Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα.

9 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β. Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα. Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα. Τότε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος i θα ισούται με l i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 όπου x i = x i x i 1 και y i = f (x i ) f (x i 1 ) Άρα συνολικά το μήκος της καμπύλης θα είναι περίπου ίσο με L = n ( xi ) 2 + ( y i ) 2 i=1

10 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β. Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα. Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα. Τότε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος i θα ισούται με l i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 όπου x i = x i x i 1 και y i = f (x i ) f (x i 1 ) Άρα συνολικά το μήκος της καμπύλης θα είναι περίπου ίσο με L = n ( xi ) 2 + ( y i ) 2 i=1 L = lim n n i=1 ( xi ) 2 + ( y i ) 2

11 M koc kampôlhc Εστω ότι έχουμε την καμπύλη f (x) και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της από το σημείο α στο β. Χωρίζουμε το διάστημα (α, β) σε n το πλήθος τμήματα. Ενώνουμε τα σημεία αυτά οπότε σχηματίζονται n το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα. Τότε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος i θα ισούται με l i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 όπου x i = x i x i 1 και y i = f (x i ) f (x i 1 ) Άρα συνολικά το μήκος της καμπύλης θα είναι περίπου ίσο με L = n ( xi ) 2 + ( y i ) 2 i=1 L = lim n n i=1 ( xi ) 2 + ( y i ) 2

12 M koc kampôlhc Από το θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε ότι υπάρχει ένα σημείο c i τέτοιο ώστε f (c i ) = y i x i Οπότε τελικά θα έχουμε L = lim n = lim n L = n ( xi ) 2 + (f (x i ) x i ) 2 i=1 n 1 + (f (x i )) 2 x i i=1 β α 1 + (f (x)) 2 dx

13 M koc kampôlhc Από το θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε ότι υπάρχει ένα σημείο c i τέτοιο ώστε f (c i ) = y i x i Οπότε τελικά θα έχουμε L = lim n = lim n L = n ( xi ) 2 + (f (x i ) x i ) 2 i=1 n 1 + (f (x i )) 2 x i i=1 β α 1 + (f (x)) 2 dx Άσκηση: Να υπολογιστεί το μήκος της καμπύλης f (x) = x 3/2 στο διάστημα (0, 3).

( xi ) 2 + (f (x i ) x i ) 2 i=1 n 1 + (f (x i )) 2 x i i=1 β α 1 + (f (x)) 2

14 Genikeumèna oloklhr mata 'Ena orismèno olokl rwma ja lègetai genikeumèno an èna apì ta dôo kai ta dôo ˆkra eðnai +/. h sunˆrthsh f (x) den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera shmeða tou diast matoc (α, β) kai ta dôo parapˆnw.

15 Genikeumèna oloklhr mata 'Ena orismèno olokl rwma ja lègetai genikeumèno an èna apì ta dôo kai ta dôo ˆkra eðnai +/. h sunˆrthsh f (x) den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera shmeða tou diast matoc (α, β) tìte kai ta dôo parapˆnw. α β f (x)dx = lim f (x)dx β α

h sunˆrthsh f (x) den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera

16 Genikeumèna oloklhr mata 'Ena orismèno olokl rwma ja lègetai genikeumèno an èna apì ta dôo kai ta dôo ˆkra eðnai +/. h sunˆrthsh f (x) den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera shmeða tou diast matoc (α, β) tìte kai ta dôo parapˆnw. α β f (x)dx = lim f (x)dx β α Lème ìti to olokl rwma autì sugklðnei an to ìrio autì eðnai peperasmèno, diaforetikˆ lème ìti apoklðnei.

h sunˆrthsh f (x) den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera shmeða tou diast matoc (α,

17 Genikeumèna oloklhr mata 'Estw ìti h f (x) den eðnai peperasmènh se kˆpoio shmeðo tou diast matoc olokl rwshc 'Estw ìti den eðnai suneq c se èna apì ta dôo kai dôo ˆkra tìte β α β+e f (x)dx = lim f (x)dx e 0 α

rwshc 'Estw ìti den eðnai suneq c se èna apì ta dôo

18 Genikeumèna oloklhr mata 'Estw ìti h f (x) den eðnai peperasmènh se kˆpoio shmeðo tou diast matoc olokl rwshc 'Estw ìti den eðnai suneq c se èna apì ta dôo kai dôo ˆkra tìte β α β+e f (x)dx = lim f (x)dx e 0 α den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera shmeða tou diast matoc (α, β) tìte β α γ e β f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx e 0 α e 0 γ+e

β α β+e f (x)dx = lim f (x)dx e 0 α den èqei peperasmènh tim se èna h perissìtera

19 Genikeumèna oloklhr mata UpologÐste ta parakˆtw oloklhr mata 1 1 x 2 dx

20 Genikeumèna oloklhr mata UpologÐste ta parakˆtw oloklhr mata 1 1 dx x x 2 dx

21 Genikeumèna oloklhr mata UpologÐste ta parakˆtw oloklhr mata 1 1 dx x x 2 dx 0 e x dx

Σχετικά έγγραφα

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh